Hullu matematiikka: Äärettömällä sarjalla on kolme erilaista tulosta

Jos olet matematiikan fani ja rakastat ratkaisemaan ongelmia, rakastat Numberphilen tohtori James Grimeen YouTubeen lähettämää videota. Tämä on italialaisen filosofin ja matemaatikon Guido Grandin 1800-luvulla kehittämän Grandi-sarjan esittely, joka koostuu äärettömästä sarjasta, jossa luku "1" vähennetään ja lisätään peräkkäin.

Vaikka tämä tarina numeron 1 lisäämisestä ja vähentämisestä toistuvasti ja äärettömyyteen asti näyttää yksinkertaiselta - ja vastaus näyttää varsin ilmeiseltä -, ongelmaan on olemassa kolme erilaista ratkaisua riippuen taikuussäännöistäsi. omaksua vastaamaan haasteeseen. Katso seuraava video:

Vaikka video on englanninkielinen, voit ottaa valikossa käyttöön suhteellisen ymmärrettävän portugalilaisen tekstityksen.

Kuten näette, sarja koostuu 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... laskemisesta, äärettömästi. Jos kuitenkin lisäämme suluihin sarjaan - (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) ... - tulos on nolla . Toisaalta lisäämällä sulkuja hieman eri tavalla ja lisäämällä niiden sisältö - 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 ... -, sitten vastaus on 1 .

Kuitenkin on vielä kolmas vastaus, joka on yllättävin: Oletetaan, että äärettömän sarjan laskelman tulos on luku, jota edustaa S- kirjain. Entä miten teemme 1-S- luvun, joka tarkoittaa samaa kuin 1 - loputtoman määrän tulos? Laskelman kirjoittaminen näyttää tältä: 1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...) .

Jos kuitenkin poistamme sulkeet, miinusmerkki merkitsee kaikkien merkkien peruuttamista, joten tilistä tulee: 1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1). ..) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 –..., joka on tarkalleen yhtä suuri kuin Grandin ääretön sarja, toisin sanoen yhtä suuri kuin S. Laskennan uudelleenkirjoittamisella on kuitenkin 1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... = S, joka on sama kuin 2S = 1 .

Toisin sanoen luvun 1 summan ja loputtoman vähentämisen tulos tämän kolmannen ratkaisun mukaan on yhtä suuri kuin ½ ! Lisätietoja tästä laskelmasta ja muista outojen tulosten sarjoista, tutustu tri Grimin selityksiin videossa.

* Alun perin lähetetty 27.6.2013.

***

Tiesitkö Mega Curioson uutiskirjeen? Tuotamme viikoittain eksklusiivista sisältöä tämän suuren maailman suurimman uteliaisuuden ja omituisuuden ystäville! Rekisteröi sähköpostiosoitteesi ja älä unohda tätä tapaa pitää yhteyttä!